میشه حل کنین؟‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

برای حل این مسئله، باید به دنبال حداقل مقدار عدد طبیعی \( n \) باشید که نامساوی زیر برقرار باشد: \[ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} > \frac{300}{301} \] ابتدا توجه کنید که: \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \] از این خاصیت می‌توان برای ساده کردن سری استفاده کرد. اگر این سری را تا جمله \( n \)ام جمع کنیم، خواهیم داشت: \[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \] بنابراین، داریم: \[ 1 - \frac{1}{n+1} > \frac{300}{301} \] حال می‌توانیم این نامساوی را حل کنیم: \[ \frac{n}{n+1} > \frac{300}{301} \] ضرب داخلی طرفین نامساوی را به دست آورید: \[ 301n > 300n + 300 \] با کم کردن \( 300n \) از طرفین: \[ n > 300 \] بنابراین، حداقل مقدار \( n \) که برای آن نامساوی برقرار است 301 می‌باشد.